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홀수와 짝수

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목차

1. 개요

홀수와 짝수는 정수를 2로 나누었을 때 나머지에 따라 구분되는 개념으로, 짝수는 2로 나누어 떨어지는 수, 홀수는 2로 나누어 떨어지지 않는 수이다. 짝수는 2k (k는 정수), 홀수는 2k+1 (k는 정수)로 표현되며, 짝수와 홀수의 성질을 홀짝성이라고 한다. 두 홀수나 두 짝수의 합은 짝수이고, 홀수와 짝수의 합은 홀수이며, 이러한 성질은 모듈러 산술 규칙의 특별한 경우이다. 홀수와 짝수의 개념은 수학의 여러 분야, 예를 들어 정수론, 군론, 해석학, 조합 게임 이론 등에서 활용되며, 정보 이론의 오류 감지 코드, 클라리넷과 같은 악기의 음향, 주소 체계, 항공편 번호 등 다양한 분야에도 적용된다.

2. 정의

정수는 2로 나누었을 때 나머지가 0인 경우와 1인 경우로 나눌 수 있으며, 전자를 짝수, 후자를 홀수라고 정의한다.[4] 홀수는 2k+1 (k는 정수), 짝수는 2k (k는 정수) 형태로 표현할 수 있다.[4] 짝수의 집합은 2Z, 홀수의 집합은 2Z+1로 표현할 수 있다.[5]

홀수는 2의 배수가 아닌 정수이다. 짝수는 2의 배수인 정수이다.

정수가 홀수인지 짝수인지에 대한 성질을 홀짝성(-性, parity|패리티영어)이라고 한다.

짝수와 홀수의 정의가 내려지는 가장 기본적인 대상은 정수이며, 2로 나누어 떨어지는 수를 짝수, 2로 나누어 떨어지지 않는 수를 홀수라고 부른다.


  • 홀수는 n=2k+1인 k\in\mathbb Z가 존재하는 n\in\mathbb Z이다.
  • 홀수는 n\equiv1\pmod2를 만족시키는 n\in\mathbb Z이다.
  • 홀수는 2\mathbb Z+1의 원소이다.
  • 짝수는 n=2k인 k\in\mathbb Z가 존재하는 n\in\mathbb Z이다.
  • 짝수는 n\equiv0\pmod2를 만족시키는 n\in\mathbb Z이다.
  • 짝수는 2\mathbb Z의 원소이다.


자연수의 범위 내에서 생각한다면

: 짝수 전체가 이루는 집합 = {짝수} = {2, 4, 6, ...} = {2''n'' | ''n''은 자연수} = 2'''N'''

: 홀수 전체가 이루는 집합 = {홀수} = {1, 3, 5, ...} = {2''n'' + 1 | ''n''은 0 또는 자연수} = 2'''N'''0 + 1

이고, 정수의 범위 내에서 생각한다면

: 짝수 전체가 이루는 집합 = {짝수} = {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, ...} = {2''n'' | ''n''은 정수} = 2'''Z'''

: 홀수 전체가 이루는 집합 = {홀수} = {..., −5, −3, −1, 1, 3, 5, ...} = {2''n'' + 1 | ''n''은 정수} = 2'''Z'''+1

등으로 나타낼 수 있다.

여기서, 관습에 따라 자연수 전체를 '''N''', 정수 전체를 '''Z'''로 나타냈다. 또한, 자연수에는 0을 포함하지 않는 것으로 하고, 0 및 자연수를 합한 전체를 '''N'''0로 나타내고 있다.

3. 예

49는 2 × 24 + 1이므로 홀수이다. 128은 2 × 64이므로 짝수이다. 마찬가지로 -49는 홀수이며, -128은 짝수이다. 0은 2 × 0으로 표현되므로 짝수이다.

양의 홀수는 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... 순서로 나열된다.

음이 아닌 짝수는 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... 순서로 나열된다.

4. 성질

두 홀수나 두 짝수의 합 또는 차는 항상 짝수이며, 홀수와 짝수의 합 또는 차는 항상 홀수이다.[1] 두 홀수의 곱은 홀수, 두 짝수의 곱은 짝수, 홀수와 짝수의 곱은 짝수이다.[1]

이는 모듈러 산술 규칙의 특별한 경우이며, 각 변의 짝수/홀수성을 검사하여 등식이 정확할 가능성이 있는지 확인하는 데 일반적으로 사용된다. 일반적인 산술과 마찬가지로, 덧셈과 곱셈은 모듈로 2 산술에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 곱셈은 덧셈에 분배된다. 그러나 모듈로 2에서의 뺄셈은 덧셈과 동일하므로, 뺄셈 또한 이러한 성질을 가지며, 이는 일반적인 정수 산술에서는 성립하지 않는다.

짝수/홀수의 사칙연산[1]
연산결과
짝수 ± 짝수짝수
짝수 ± 홀수홀수
홀수 ± 홀수짝수
짝수 × 짝수짝수
짝수 × 홀수짝수
홀수 × 홀수홀수



특히, 다음과 같은 성질들이 성립한다.


  • 연속된 두 정수는 항상 하나는 짝수, 하나는 홀수이다.
  • 연속된 두 정수의 합은 홀수이다.
  • 연속된 두 정수의 곱은 짝수이다.
  • 짝수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다. 또한, 짝수는 정수의 유사환 아이디얼을 이루며, 그에 대한 몫환은 크기가 2인 체를 이룬다.


어떤 정수가 홀수인지 짝수인지 판정하는 방법은 '증명' 하위 섹션에 자세하게 설명되어있다.

4. 1. 증명

n영어, m영어이 정수일 때, 홀수와 짝수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 증명할 수 있다.

  • 덧셈
  • 두 홀수의 합은 짝수이다.
  • 홀수와 짝수의 합은 홀수이다.
  • 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
  • 두 짝수의 합은 짝수이다.
  • 곱셈
  • 두 홀수의 곱은 홀수이다.
  • 홀수와 짝수의 곱은 짝수이다.
  • 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다.
  • 두 짝수의 곱은 짝수이다.


어떤 수가 홀수인지 짝수인지 판정하는 방법은 다음과 같다.

  • 어떤 정수의 십진법 전개의 일의 자리 수가 짝수(0, 2, 4, 6, 8)라면, 그 정수는 짝수이다.
  • 어떤 정수의 십진법 전개의 일의 자리 수가 홀수(1, 3, 5, 7, 9)라면, 그 정수는 홀수이다.
  • 홀수의 약수는 항상 홀수이다.
  • 짝수의 배수는 항상 짝수이다.
  • 2를 제외한 소수는 항상 홀수이다.

4. 1. 1. 덧셈/뺄셈

n영어, m영어이 정수일 때, 다음이 성립한다.

  • 홀수 + 홀수 = 짝수
  • 홀수 + 짝수 = 홀수
  • 짝수 + 홀수 = 홀수
  • 짝수 + 짝수 = 짝수


(증명)

1. 두 홀수 2n+1영어, 2m+1영어에 대하여,

: (2n+1)+(2m+1)=2n+2m+2=2(n+m+1)영어

: n+m+1영어 역시 정수이므로 2(n+m+1)영어은 짝수이다.

: ∴ 홀수 + 홀수 = 짝수

2. 홀수 2n+1영어, 짝수 2m영어에 대하여,

: (2n+1)+(2m)=2n+2m+1=2(n+m)+1영어

: n+m영어 역시 정수이므로 2(n+m)+1영어은 홀수이다.

: ∴ 홀수 + 짝수 = 홀수

: → 덧셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수 + 홀수' 역시 홀수이다.

3. 두 짝수 2n영어, 2m영어에 대하여,

: (2n)+(2m)=2(n+m)영어

: n+m영어 역시 정수이므로 2(n+m)영어은 짝수이다.

: ∴ 짝수 + 짝수 = 짝수

뺄셈의 경우에도 위와 같은 규칙이 적용된다.[1]

4. 1. 2. 곱셈

두 홀수의 곱은 홀수이고, 두 짝수의 곱은 짝수이며, 홀수와 짝수의 곱 및 짝수와 홀수의 곱은 짝수이다. 즉,

  • 홀수 × 홀수 = 홀수
  • 홀수 × 짝수 = 짝수
  • 짝수 × 홀수 = 짝수
  • 짝수 × 짝수 = 짝수


n, m영어이 정수일 때,

1. 두 홀수 2n+1, 2m+1영어에 대하여

(2n+1)×(2m+1)=4mn+2n+2m+1=2(2mn+n+m)+1영어

2mn+n+m영어 역시 정수이므로 2(2mn+n+m)+1영어은 홀수이다.

∴ 홀수 × 홀수 = 홀수

2. 홀수 2n+1영어, 짝수 2m영어에 대하여

(2n+1)×(2m)=2m(2n+1)=2(2mn+m)영어

2mn+m영어 역시 정수이므로 2(2mn+m)영어은 짝수이다.

∴ 홀수 × 짝수 = 짝수

→ 곱셈은 교환법칙이 성립되므로 '짝수×홀수' 역시 짝수이다.

3. 두 짝수 2n, 2m영어에 대하여

(2n)×(2m)=4mn=2(2mn)영어

2mn영어 역시 정수이므로 2(2mn)영어은 짝수이다.

∴ 짝수 × 짝수 = 짝수

5. 역사

고대 그리스인들은 1, 즉 모나드를 완전히 홀수도 완전히 짝수도 아닌 것으로 여겼다.[7] 이러한 생각은 19세기까지 이어졌다. 프리드리히 빌헬름 아우구스트 프뢰벨의 1826년 저서 《인간 교육》에서는 교사가 학생들에게 1은 짝수도 홀수도 아니라고 가르치도록 지시하고 있으며, 프뢰벨은 이에 대한 철학적 부언으로 다음과 같이 덧붙였다.

: 두 개의 상대적으로 다른 것 또는 아이디어 사이에는 항상 균형을 이루며 두 가지를 통합하는 것처럼 보이는 세 번째 것이 존재한다는 점에 학생의 주의를 기울이는 것이 좋습니다. 따라서 홀수와 짝수 사이에는 그 어느 쪽에도 속하지 않는 숫자(1)가 있습니다. 마찬가지로, 형태에서는 직각이 예각과 둔각 사이에 있으며, 언어에서는 반모음 또는 유기음이 무성음과 모음 사이에 있습니다. 사려 깊은 교사와 스스로 생각하는 법을 배운 학생은 이것과 다른 중요한 법칙을 알아차리는 것을 결코 피할 수 없습니다.[8]

6. 고등 수학

고등 수학에서 홀수와 짝수는 다양한 방식으로 확장되고 일반화된다.

2차원 이상의 유클리드 공간에서 점의 정수 좌표를 모두 더했을 때, 그 합이 짝수인지 홀수인지에 따라 점을 분류할 수 있다. 예를 들어 체스에서 비숍은 같은 색깔의 칸으로만 이동하는데, 이는 좌표의 합이 항상 짝수이거나 홀수로 유지되기 때문이다. 반면 나이트는 움직일 때마다 좌표 합의 홀짝성이 바뀐다.[10]

순열에도 홀짝성을 정의할 수 있다. 어떤 순열을 여러 번의 자리바꿈(전치)으로 나타낼 때, 자리바꿈 횟수가 짝수이면 짝순열, 홀수이면 홀순열이라고 한다. 큐브와 같은 퍼즐의 움직임은 짝순열로만 이루어져 있어서, 퍼즐의 가능한 상태를 이해하는 데 홀짝성이 중요하다.[18]

페이트-톰슨 정리는 홀수가 수학, 특히 군론에서 중요한 역할을 한다는 것을 보여주는 예시이다.[19]

함수의 대칭성도 짝수, 홀수와 관련이 있다. 짝함수는 x 대신 -x를 넣어도 같은 값을 가지며, 홀함수는 -x를 넣으면 원래 값의 부호가 바뀐다. 짝함수의 테일러 급수는 짝수 차수 항만, 홀함수의 테일러 급수는 홀수 차수 항만 포함한다.[21]

조합 게임 이론에서는 이진 표현에서 1의 개수가 짝수인 수를 '악수'(evil number), 홀수인 수를 '불쾌수'(odious number)라고 부르며, 이는 케일스 같은 게임의 전략에 사용된다.[22]

6. 1. 고차원 및 일반화

2차원 이상의 유클리드 공간의 점들의 정수 좌표는 좌표의 합의 홀짝성(패리티)으로 정의된다. 예를 들어, 면심 입방 격자와 그 고차원 일반화(''Dn'' 격자)는 좌표의 합이 짝수인 모든 정수 점으로 구성된다.[9] 체스에서 이 특징이 나타나는데, 사각형의 패리티는 색상으로 표시된다. 비숍은 같은 패리티의 사각형 사이에서만 움직일 수 있지만, 나이트는 움직일 때마다 패리티를 바꾼다.[10] 이러한 형태의 패리티는 손상된 체스판 문제를 해결하는 데 사용되었다. 체스판에서 두 개의 대각선 모서리 사각형을 제거하면 나머지 보드는 도미노로 덮을 수 없는데, 각 도미노가 각 패리티의 사각형 하나씩을 덮고 다른 패리티보다 두 개의 사각형이 더 많기 때문이다.[11]

서수의 패리티는 숫자가 극한 서수이거나 극한 서수에 유한한 짝수를 더한 경우 짝수로 정의될 수 있으며, 그렇지 않으면 홀수로 정의될 수 있다.[12]

''R''을 가환환으로 하고, ''I''를 ''R''의 지수가 2인 아이디얼이라고 하자. 잉여류 0+I의 원소는 '''짝수''', 잉여류 1+I의 원소는 '''홀수'''라고 부를 수 있다. 예를 들어, 1+I를 '''Z'''의 소 아이디얼 (2)에서 국소화라고 하자. 그러면 ''R''의 원소는 분자가 '''Z'''에서 짝수 또는 홀수일 경우에만 짝수 또는 홀수이다.

6. 2. 정수론

환에서 짝수는 아이디얼을 구성하지만,[13] 홀수는 그렇지 않다. 이는 덧셈에 대한 항등원인 0이 짝수에만 속하기 때문이다. 어떤 정수가 2를 모듈로로 0과 합동이면 짝수이고, 1과 합동이면 홀수이다.

2를 제외한 모든 소수는 홀수이다.[14] 알려진 모든 완전수는 짝수이며, 홀수인 완전수가 존재하는지는 알려져 있지 않다.[15]

골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이다. 컴퓨터 계산을 통해 이 추측이 4 × 1018까지의 정수에 대해 참임이 확인되었지만, 일반적인 증명은 아직 발견되지 않았다.[16]

6. 3. 군론

추상대수학에서 정의된 순열의 패리티는 순열을 분해할 수 있는 전치의 수의 패리티이다.[17] 예를 들어 (ABC)에서 (BCA)로의 변환은 A와 B를 바꾸고 C와 A를 바꾸면 되므로 짝수이다(두 번의 전치). 어떤 순열도 짝수와 홀수 번의 전치로 모두 분해될 수 없다는 것을 보일 수 있다. 따라서 위는 적절한 정의이다. 큐브와 메가밍크스, 그리고 다른 꼬임 퍼즐에서 퍼즐의 움직임은 퍼즐 조각의 짝수 순열만 허용하므로, 패리티는 이러한 퍼즐의 구성 공간을 이해하는 데 중요하다.[18]

페이트-톰슨 정리는 유한군의 차수가 홀수이면 항상 가해군이라고 말한다.[19] 이것은 "홀수 차수"라는 간단한 가설의 적용 방법이 명백하지 않은 고급 수학 정리에서 홀수가 역할을 하는 한 예이다.[19]

6. 4. 해석학

함수의 대칭성은 인수를 음수로 바꿨을 때 함수의 값이 어떻게 변하는지를 설명한다. 변수의 짝수 거듭제곱과 같은 우함수는 인수를 음수로 바꾼 경우와 같은 결과를 낸다. 변수의 홀수 거듭제곱과 같은 기함수는 인수를 음수로 바꾼 경우, 원래 결과의 부호를 바꾼 결과를 낸다. 함수가 기함수도 우함수도 아닌 경우도 가능하며, ''f''(''x'') = 0인 경우, 기함수이자 우함수일 수 있다.[20] 우함수의 테일러 급수는 지수가 짝수인 항만 포함하고, 기함수의 테일러 급수는 지수가 홀수인 항만 포함한다.[21]

6. 5. 조합 게임 이론

조합 게임 이론에서, '''악수(evil number)'''는 이진 표현에 1이 짝수 개인 숫자이고, '''불쾌수(odious number)'''는 이진 표현에 1이 홀수 개인 숫자이다. 이러한 숫자는 케일스 게임의 전략에서 중요한 역할을 한다.[22] 패리티 함수는 숫자를 이진 표현의 1의 개수로 매핑하며, 모듈러 연산 2를 사용하여 악수에는 0, 불쾌수에는 1의 값을 갖는다. 투에-모스 수열은 0과 1로 이루어진 무한 수열로, ''i''가 악수일 때 위치 ''i''에 0이 있고, ''i''가 불쾌수일 때 1이 있다.[23]

7. 응용

정보 이론에서 패리티 비트는 가장 간단한 형태의 오류 감지 코드이다. 패리티 비트는 이진수에 추가되어, 결과 값의 단일 비트가 변경되면 올바른 패리티를 갖지 않게 된다. 원래 숫자의 비트를 변경하면 기록된 패리티와 다른 패리티가 생성되고, 파생된 숫자를 변경하지 않고 패리티 비트를 변경해도 잘못된 결과가 생성된다. 이러한 방식으로 모든 단일 비트 전송 오류를 안정적으로 감지할 수 있다.[24] 더 정교한 오류 감지 코드는 원래 인코딩된 값의 비트 하위 집합에 여러 패리티 비트를 사용한다.[25]

원통형 관악기에서 한쪽 끝이 막힌 경우(예: 클라리넷의 마우스피스)에 생성되는 배음은 기본 주파수의 홀수 배수이다. 배음열 (음악) 참조.[26]

일부 국가에서는 주소를 정할 때 거리의 한쪽 면에 있는 집은 짝수 번호, 다른 쪽 면에 있는 집은 홀수 번호를 사용한다.[27] 미국 국도에서 짝수 번호는 주로 동서 고속도로를, 홀수 번호는 주로 남북 고속도로를 나타낸다.[28] 항공사 항공편 번호에서 짝수 번호는 일반적으로 동쪽 또는 북쪽으로 향하는 항공편을, 홀수 번호는 일반적으로 서쪽 또는 남쪽으로 향하는 항공편을 식별한다.[29]

참조

[1] 서적 Figuring Out Mathematics https://books.google[...] Pearson Education India
[2] 서적 A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory https://books.google[...] World Scientific
[3] 간행물 Divisibility in bases http://www.pentagon.[...]
[4] 서적 Mathematics for Elementary School Teachers https://books.google[...] Cengage Learning
[5] 서적 The A to Z of Mathematics: A Basic Guide https://books.google[...] John Wiley & Sons
[6] 서적 Notes on Introductory Combinatorics https://books.google[...] Springer
[7] 서적 Ancient Greek Philosophy: Thales to Gorgias https://books.google[...] Pearson Education India
[8] 서적 The Education of Man https://archive.org/[...] A Lovell & Company
[9] 서적 Sphere packings, lattices and groups https://books.google[...] Springer-Verlag
[10] 서적 Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts https://books.google[...] Simon and Schuster
[11] 논문 Tiling with dominoes
[12] 서적 Real Analysis https://books.google[...] ClassicalRealAnalysis.com
[13] 서적 Elements of Number Theory https://books.google[...] Springer
[14] 서적 Basic College Mathematics https://archive.org/[...] Addison Wesley
[15] 서적 Mathematical Cranks Cambridge University Press
[16] 논문 Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4·1018 https://www.ams.org/[...]
[17] 서적 Permutation Groups https://books.google[...] Cambridge University Press
[18] 서적 Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys https://books.google[...] JHU Press
[19] 서적 Cambridge University Press
[20] 서적 College Algebra https://books.google[...] Cengage Learning
[21] 서적 Advanced Engineering Mathematics https://books.google[...] Alpha Science Int'l Ltd.
[22] 서적 Games of no chance (Berkeley, CA, 1994) Cambridge Univ. Press
[23] 논문 Evil twins alternate with odious twins https://digitalcommo[...]
[24] 서적 A Student's Guide to Coding and Information Theory https://books.google[...] Cambridge University Press
[25] 서적 Codes and turbo codes https://books.google[...] Springer
[26] 서적 An Introduction to Acoustics https://books.google[...] Dover
[27] 서적 GIS and Public Health https://books.google[...] Guilford Press
[28] 서적 The Big Roads: The Untold Story of the Engineers, Visionaries, and Trailblazers Who Created the American Superhighways https://books.google[...] Houghton Mifflin Harcourt
[29] 서적 Southwest Airlines https://books.google[...] ABC-CLIO


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